Uma granada de massa M é lançada do solo plano e horizontal com uma velocidade inicial \(V_0\) formando um ângulo \(\theta\) com o sentido positivo do eixo horizontal \(X\). Na altura máxima da sua trajetória parabólica, ela explode em dois fragmentos \(F_1\) e \(F_2\). O fragmento \(F_1\) de massa \(M/4\), imediatamente após a explosão, adquire uma velocidade \(V_1\), vertical e orientada para baixo ao longo do sentido negativo do eixo \(Y\). O intervalo de tempo entre o instante imediatamente após a explosão da granada e o instante em que o fragmento \(F_2\) toca o solo é de:
Dados: Despreze a resistência do ar, considere que o módulo da aceleração da gravidade é igual a \(g\) e que as trajetórias da granada e dos fragmentos estão apenas no plano \(XY\).
A) \([\,V_1/3+V_0(1/9-sen\theta)\,]/g\)
B) \(\sqrt{[\,V_1/3+V_0(1/9-sen\theta)\,]}/g\)
C) \([\,V_1/3+V_0(1/9+sen\theta)\,]/g\)
D) \([\,V_1/3+\sqrt{(V_1^{2}/9+V_0^{2} sen^{2}\theta)}\,]/g\)
E) \([\,V_1/3+\sqrt{(V_1^{2}/9-V_0^{2} sen^{2}\theta)}\,]/g\)
Gabarito: D
Resolução:
No topo da trajetória, a granada tem velocidade apenas horizontal \(V_0\cos\theta\) e componente vertical nula. Assim, o momento linear total imediatamente antes da explosão é \(M\,V_0\cos\theta\) na direção \(x\).
Na explosão não há impulso externo apreciável ⇒ o momento total se conserva no instante.
O fragmento \(F_1\) tem massa \(M/4\) e velocidade puramente vertical \(V_1\) para baixo (sem componente em \(x\)). Logo, toda a componente em \(x\) do momento deve ficar com \(F_2\) (massa \(3M/4\)):
\[
\frac{3M}{4}\,v_{2x}=M\,V_0\cos\theta
\;\]\[
v_{2x}=\frac{4}{3}\,V_0\cos\theta.
\]
Antes da explosão o momento vertical total era zero. Portanto, imediatamente após a explosão as componentes verticais devem se anular:
\[
\frac{3M}{4}\,v_{2y}+\left(-\frac{M}{4}\,V_1\right)=0
\;\]
\[
v_{2y}=\frac{V_1}{3}.
\]
A altura do topo do lançamento (em relação ao solo) é:
\[
H=\frac{V_0^{2}\, sen^{2}\theta}{2g}.
\]
Tomando a explosão como \(t=0\) e o topo como \(y=H\), o movimento vertical de \(F_2\) (com velocidade inicial \(v_{2y}=V_1/3\) para cima) é:
\[
y(t)=H+\left(\frac{V_1}{3}\right)t-\frac{1}{2}gt^2.
\]
O impacto com o solo ocorre quando \(y(t)=0\). Resolvendo a equação quadrática:
\[
gt^2-\frac{2V_1}{3}t-2H=0
\;\]\[
t=\frac{\frac{2V_1}{3}+\sqrt{\left(\frac{2V_1}{3}\right)^2+8gH}}{2g}.
\]
Substituindo \(H=\frac{V_0^{2} sen^{2}\theta}{2g}\) (logo \(8gH=4V_0^{2} sen^{2}\theta\)):
\[
t=\frac{\frac{V_1}{3}+\sqrt{\frac{V_1^{2}}{9}+V_0^{2} sen^{2}\theta}}{g}.
\]
Resposta: \([\,V_1/3+\sqrt{(V_1^{2}/9+V_0^{2} sen^{2}\theta)}\,]/g\) — alternativa D.
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