EsPCEx 2022

Questão 25

Uma canoa amarrada ao ponto P, em um rio, solta-se e é levada pela correnteza. A correnteza tem velocidade paralela e de módulo constante \(V_R\) em relação à margem do rio. Após um intervalo de tempo igual a \(\Delta t\), o dono da canoa parte do ponto P com uma lancha que se desloca com velocidade paralela e de módulo constante \(V_L\) em relação à correnteza. Quando alcança a canoa, ele prende a canoa e inverte o sentido do movimento da lancha para retornar ao ponto P, também com velocidade de módulo \(V_L\) em relação à correnteza. Determine o intervalo de tempo entre o instante em que o dono alcança a canoa e o instante em que chega ao ponto P.

O intervalo de tempo de retorno é:

A) \((V_R/V_L+1)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R-1)\)

B) \((V_L/V_R-1)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R+1)\)

C) \((V_L/V_R-1)\,\Delta t\,/\,(V_R/V_L-1)\)

D) \((V_R/V_L)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R-1)\)

E) \((V_R/V_L-1)\,\Delta t\,/\,(V_R/V_L+1)\)

Gabarito: A

Resolução:

Posição da canoa em relação à margem (origem em \(P\)):

\[ x_C(t)=V_R\,t. \]

A lancha parte em \(t=\Delta t\) do ponto \(x=0\), descendo o rio. Sua velocidade em relação à margem é:

\[ V_{L,\text{margem}}=V_L+V_R. \]

Para \(t\ge \Delta t\), a posição da lancha é:

\[ x_L(t)=(V_L+V_R)\,(t-\Delta t). \]

Instante do encontro \(t_c\):

\[ x_L(t_c)=x_C(t_c). \]

\[ (V_L+V_R)\,(t_c-\Delta t)=V_R\,t_c. \]

\[ V_L\,t_c=(V_L+V_R)\,\Delta t. \]

\[ t_c=\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t. \]

Distância do ponto de encontro até \(P\):

\[ d=x_C(t_c)=V_R\,t_c=V_R\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t. \]

Na volta, contra a correnteza, a velocidade da lancha em relação à margem é:

\[ V_{\,\text{volta}}=V_L-V_R. \]

Tempo de retorno (do encontro até chegar a \(P\)):

\[ \Delta t_{\text{ret}}=\frac{d}{V_L-V_R} =\frac{V_R\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t}{\,V_L-V_R\,}. \]

Escrevendo em razões adimensionais \(\frac{V_R}{V_L}\) e \(\frac{V_L}{V_R}\):

\[ \Delta t_{\text{ret}} =\left(\frac{V_R}{V_L}+1\right)\, \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_L}{V_R}-1\right)}. \]

Resposta: alternativa A.

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