O intervalo de tempo de retorno é:
A) \((V_R/V_L+1)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R-1)\)
B) \((V_L/V_R-1)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R+1)\)
C) \((V_L/V_R-1)\,\Delta t\,/\,(V_R/V_L-1)\)
D) \((V_R/V_L)\,\Delta t\,/\,(V_L/V_R-1)\)
E) \((V_R/V_L-1)\,\Delta t\,/\,(V_R/V_L+1)\)
Gabarito: A
Resolução:
Posição da canoa em relação à margem (origem em \(P\)):
\[ x_C(t)=V_R\,t. \]
A lancha parte em \(t=\Delta t\) do ponto \(x=0\), descendo o rio. Sua velocidade em relação à margem é:
\[ V_{L,\text{margem}}=V_L+V_R. \]
Para \(t\ge \Delta t\), a posição da lancha é:
\[ x_L(t)=(V_L+V_R)\,(t-\Delta t). \]
Instante do encontro \(t_c\):
\[ x_L(t_c)=x_C(t_c). \]
\[ (V_L+V_R)\,(t_c-\Delta t)=V_R\,t_c. \]
\[ V_L\,t_c=(V_L+V_R)\,\Delta t. \]
\[ t_c=\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t. \]
Distância do ponto de encontro até \(P\):
\[ d=x_C(t_c)=V_R\,t_c=V_R\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t. \]
Na volta, contra a correnteza, a velocidade da lancha em relação à margem é:
\[ V_{\,\text{volta}}=V_L-V_R. \]
Tempo de retorno (do encontro até chegar a \(P\)):
\[ \Delta t_{\text{ret}}=\frac{d}{V_L-V_R} =\frac{V_R\left(1+\frac{V_R}{V_L}\right)\Delta t}{\,V_L-V_R\,}. \]
Escrevendo em razões adimensionais \(\frac{V_R}{V_L}\) e \(\frac{V_L}{V_R}\):
\[ \Delta t_{\text{ret}} =\left(\frac{V_R}{V_L}+1\right)\, \frac{\Delta t}{\left(\frac{V_L}{V_R}-1\right)}. \]
Resposta: alternativa A.
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