Questão 23

Modelo A | EsPCEx 2022

Um observador analisou o movimento circular uniforme de uma partícula P ao longo de uma circunferência de raio igual a 3 m e velocidade escalar linear igual a $ \pi/4 $ m/s. Ele fez o desenho abaixo indicando a posição da partícula, no instante de observação $ t = 3 \,s $, que se desloca no sentido anti-horário da circunferência. Ele também traçou um eixo X ao longo do diâmetro com a sua origem no centro da circunferência.

Esse observador pode afirmar que a função horária que descreve a posição da projeção da partícula P ao longo do eixo X, no SI, é dado por:

Dado: Considere, no desenho, a velocidade V da partícula em $ t = 3 \,s $.

A) $ 6 \cdot \cos\left[\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{12}\ t \right] $

B) $ 3 \cdot \cos\left[\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\ t \right] $

C) $ 6 \cdot \cos\left[\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{12}\ t \right] $

D) $ 3 \cdot \cos\left[\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{12}\ t \right] $

E) $ 3 \cdot \cos\left[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12}\ t \right] $

Gabarito: E

Resolução:

Solução passo a passo

Dados do problema Raio: $ R = 3\,\text{m} $ Velocidade escalar: $ v = \frac{\pi}{4}\,\text{m/s} $ Sentido de rotação: anti-horário Relações básicas A projeção no eixo $X$ de um MCU é dada por \[ x(t) = R \cos\big(\theta(t)\big), \] com o ângulo medido a partir do eixo $+X$ (no sentido anti-horário): \[ \theta(t) = \omega t + \varphi, \] onde $ \omega $ é a velocidade angular e $ \varphi $ a fase inicial. Calcule a velocidade angular \[ \omega = \frac{v}{R} \] \[ \omega = \frac{\pi/4}{3} = \frac{\pi}{12}\;\text{rad/s}. \] Use o desenho no instante $ t=3\,\text{s} $ No desenho, em $ t=3\,\text{s} $, a partícula está no topo da circunferência. Assim, o ângulo em relação ao eixo $+X$ é \[ \theta(3) = \frac{\pi}{2}. \] Encontre a fase inicial $ \varphi $ \[ \theta(3) = \omega \cdot 3 + \varphi \] \[ \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12}\cdot 3 + \varphi \] \[ \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \varphi \] \[ \varphi = \frac{\pi}{4}. \] Monte a função horária $ x(t) $ \[ x(t) = R \cos\!\big(\omega t + \varphi\big) \] \[ x(t) = 3 \cos\!\left(\frac{\pi}{12}\,t + \frac{\pi}{4}\right). \] Conclusão A posição da projeção de $P$ no eixo $X$ é \[ x(t)=3\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}\,t\right) \] Expressão idêntica à alternativa E.

Este post te ajudou?

5 1 5 2