Quatro fios condutores retilíneos, muito longos e paralelos, F1, F2, F3 e F4, são dispostos no espaço de modo que as suas seções transversais estão nos vértices de um quadrado de lado \(L\). Os fios F1, F2, F3 e F4 são percorridos, respectivamente, pelas correntes \(i\), \(i\), \(5i\) e \(2i\), com as direções e sentidos indicados no desenho. Considerando que a permeabilidade magnética do meio é \(\mu\), determine o módulo do campo magnético resultante no centro do quadrado.
A) \(\mu\cdot i\cdot \sqrt{83}/(2\pi L)\)
B) \(\mu\cdot i\cdot \sqrt{82}/(2\pi L)\)
C) \(\mu\cdot i\cdot \sqrt{43}/(2\pi L)\)
D) \(\mu\cdot i\cdot \sqrt{35}/(2\pi L)\)
E) \(\mu\cdot i\cdot \sqrt{34}/(2\pi L)\)
Gabarito: E
Resolução:
Distância do centro a cada fio: \(r=\frac{L}{\sqrt{2}}\). O módulo do campo criado por um fio retilíneo muito longo é \(B=\frac{\mu I}{2\pi r}\).
Como o ponto está a \(45^\circ\) de cada fio, cada campo tem componentes \(x\) e \(y\) com o mesmo módulo. A componente em cada eixo vale
\[
\frac{B}{\sqrt{2}}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\mu I}{2\pi (L/\sqrt{2})}
=\frac{\mu I}{2\pi L}.
\]
Assim, cada fio contribui com \(\frac{\mu}{2\pi L}\) multiplicado pela sua corrente \(I\) e por um sinal (\(+\) ou \(-\)) que depende do sentido do campo (regra da mão direita).
Definindo \(+\hat{x}\) para a direita e \(+\hat{y}\) para cima, os sinais das componentes no centro são:
• F1 (canto superior direito, corrente saindo ⊙, intensidade \(i\)): \(B_{1x}=+\frac{\mu i}{2\pi L}\), \(B_{1y}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\).
• F2 (canto superior esquerdo, corrente entrando ⊗, intensidade \(i\)): \(B_{2x}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\), \(B_{2y}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\).
• F3 (canto inferior esquerdo, corrente saindo ⊙, intensidade \(5i\)): \(B_{3x}=-\frac{5\mu i}{2\pi L}\), \(B_{3y}=+\frac{5\mu i}{2\pi L}\).
• F4 (canto inferior direito, corrente entrando ⊗, intensidade \(2i\)): \(B_{4x}=+\frac{2\mu i}{2\pi L}\), \(B_{4y}=+\frac{2\mu i}{2\pi L}\).
Somando componentes: \[ B_x=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(+1-1-5+2)=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(-3), \] \[ B_y=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(-1-1+5+2)=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(+5). \] Módulo do campo resultante: \[ B_{\text{res}}=\sqrt{B_x^2+B_y^2} =\frac{\mu i}{2\pi L}\sqrt{(-3)^2+5^2} ={\frac{\mu\,i\,\sqrt{34}}{2\pi L}}. \] Resposta: alternativa E.
• F1 (canto superior direito, corrente saindo ⊙, intensidade \(i\)): \(B_{1x}=+\frac{\mu i}{2\pi L}\), \(B_{1y}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\).
• F2 (canto superior esquerdo, corrente entrando ⊗, intensidade \(i\)): \(B_{2x}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\), \(B_{2y}=-\frac{\mu i}{2\pi L}\).
• F3 (canto inferior esquerdo, corrente saindo ⊙, intensidade \(5i\)): \(B_{3x}=-\frac{5\mu i}{2\pi L}\), \(B_{3y}=+\frac{5\mu i}{2\pi L}\).
• F4 (canto inferior direito, corrente entrando ⊗, intensidade \(2i\)): \(B_{4x}=+\frac{2\mu i}{2\pi L}\), \(B_{4y}=+\frac{2\mu i}{2\pi L}\).
Somando componentes: \[ B_x=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(+1-1-5+2)=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(-3), \] \[ B_y=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(-1-1+5+2)=\frac{\mu i}{2\pi L}\,(+5). \] Módulo do campo resultante: \[ B_{\text{res}}=\sqrt{B_x^2+B_y^2} =\frac{\mu i}{2\pi L}\sqrt{(-3)^2+5^2} ={\frac{\mu\,i\,\sqrt{34}}{2\pi L}}. \] Resposta: alternativa E.
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