EsPCEx 2022
Questão 21
Dois recipientes de mesma forma e tamanho são feitos do mesmo material e têm o coeficiente de dilatação volumétrico igual a \( \gamma _R \). Um deles está completamente cheio de um líquido A com coeficiente de dilatação real igual a \( \gamma _A \), e o outro está completamente cheio de um líquido B com coeficiente de dilatação real igual a \( \gamma _B \). Em um determinado instante, os dois recipientes são aquecidos e sofrem a mesma variação de temperatura. Devido ao aquecimento, um décimo do volume inicial do líquido A transborda e um oitavo do volume inicial do líquido B também transborda. Com relação à situação exposta, podemos afirmar que é verdadeira a seguinte relação:
A) \( \gamma _A = 2⋅ \gamma _R+4⋅ \gamma _B \)
B) \( \gamma _A = 5⋅ \gamma _R+4⋅ \gamma _B \)
C) \( \gamma _A = 2⋅ \gamma _R-8⋅ \gamma _B \)
D) \( \gamma _R = 5⋅ \gamma _A-4⋅ \gamma _B \)
E) \( \gamma _R = 2⋅ \gamma _A+8⋅ \gamma _B \)
Gabarito: D
Resolução:
O volume que transborda mede a dilatação aparente do líquido, dada por:
\[
\frac{\Delta V}{V_0} = \bigl(\gamma_{\text{líquido}} – \gamma_R\bigr)\,\Delta T.
\]
Para o líquido A (transborda \( \frac{1}{10} \) do volume inicial):
\[
(\gamma_A – \gamma_R)\,\Delta T = \frac{1}{10}. \tag{1}
\]
Para o líquido B (transborda \( \tfrac{1}{8} \) do volume inicial):
\[
(\gamma_B – \gamma_R)\,\Delta T = \frac{1}{8}. \tag{2}
\]
Como a variação de temperatura é a mesma, isolando \( \Delta T \) em (1) e (2) e igualando:
\[
\Delta T
= \frac{1}{10(\gamma_A-\gamma_R)}
= \frac{1}{8(\gamma_B-\gamma_R)}
\;\]
\[
10(\gamma_A-\gamma_R) = 8(\gamma_B-\gamma_R).
\]
Resolvendo para \( \gamma_R \):
\[
10\gamma_A – 10\gamma_R = 8\gamma_B – 8\gamma_R
\;\]
\[
2\gamma_R = 10\gamma_A – 8\gamma_B
\;\]
\[
\boxed{\gamma_R = 5\gamma_A – 4\gamma_B}.
\]
Por isso, gabarito: Letra D.
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